内積 inner product

内積とは，$\vec{a} $ と $\vec{b}$ のなす角を $ \theta $ とするとき,\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| cos \theta\ \] のこと。

内積によって,ベクトル空間に距離の概念を入れることが可能になります。

ユークリッド空間 Euclidean space

内積が定義されているn次元ベクトル空間のこと

多様体 manifold

局所的にユークリッド空間とみなせる空間のこと

束 lattice

デデキントが双対群と呼んでいたものを、クラインが群に対応しているverbandと呼び、ハッセ図を意識してバーコフがlatticeと呼んだことが束の起源、とか

圏

可逆とは限らず、変化によってそれ自身が変化してしまうという変化、作用を表す数学的概念を圏といいます。

対象(点)と射 (矢印)，そして合成(矢印をつなぐ操作)からなります。

• 対象:X,Y,Z,···

• 射:f , g , h, · · · ; f : X → Y のように始点と終点に対象を持つ

• 合成:f : X → Y , g : Y → Z に対し，g ◦ f : X → Z を定める

これらが，結合律(h◦g)◦f =h◦(g◦f)を満たし，恒等射f◦id =id ◦f=fを持つとき、圏といいます。

 直観的には，結合単位的な演算規則が入ったグラフが圏ということになります。