意味領域

プログラムに対応する数学的対象の集まりのことを意味領域とプログラムコード（プログラム全体の集合 $P$）から意味領域（集合 $D$）への写像は、プログラムコードをオクスフォード・ブラケット（Oxford brackets）で囲むことで表現する。例えば、$[\![2+8]\!]=10$ と記述し、これを意味関数と呼ぶ。

領域理論

データの集まりを、領域とよばれる適切な順序構造として、データを処理するプログラムを領域の間の連続な関数として捉える理論。

コンパクト性と完備性

距離空間  $(X, d) $において、コンパクトであることと、全有界かつ完備であることは同値である。

$\omega$ 有向完備順序

順序 $ (D, \leq ) $ に対して、すべての加算上昇列 $\{x_{n}\}_{n<\omega}$ が上限を持つとき、$D$ は $\omega$ 有向完備順序という。

関数の台

関数の値が $0$ とはならない点の集合、あるいは、その集合の閉包。

自由対象

最も制約のない対象のこと。 つまり、集合と要素の関数から、全体の関数を導出できるような対象と言い換えることも出来る。 自由モノイドはモノイド圏の自由対象。 自由半群は群圏の自由対象。

自由関手

集合間の写像を自由群間の準同型写像に対応させる関手を自由関手という。自由関手は忘却関手とは反対方向であり左随伴であるという。

忘却関手

群の圏を集合の圏の部分圏に写す関手のこと。群の演算構造を取り除いくので忘却関手と呼ばれる。

アフィン空間

ベクトル空間から原点を取り除いたもの。

自由ベクトル

空間的位置に制約の無いベクトルのこと。つまり、平行移動できるベクトルのこと。

自由モノイド

文字の集合 $\Sigma$ の上で定義される文字列の集合 $\Sigma^{*}$ のこと．

この集合には連接と呼ばれる結合的な二項演算が定義され、空列という単位元を持つので、モノイドとなる．

また、公理以外の如何なる制約もないので自由モノイドと言われる．

デカルト閉圏

圏 $C$ の対象からなる空を含む任意の有限族に対し、それらの直積対象が 圏 $C$ に存在するとき、デカルト閉圏という。

モノイド

単位元を持つ半群のこと

半群

結合法則を満たす演算が定義されている集合

体上の加群

ベクトル空間のこと。

加群

ある空でない集合 $M$ が加法について群となるとき、その集合 $M$ を加群という。

テンソル

ベクトル $a$ を ベクトル $b$ に変換する線形写像 $T$ をテンソルという。

外積

$a=(a_{1},a_{2},a_{3}),b=(b_{1},b_{2},b_{3})$ としたとき、

\[(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\]

を外積という。

外積は

\[|a|\cdot|b| sin \theta\]

とも表現できる。

可積分系

四則演算、微分、不定積分、逆関数、代数方程式を解くという演算操作を有限回合成して一般解を求められる系のことを可積分系という。

ソリトン

粒子的な振る舞いをする孤立波のことをソリトンという。